只给起点终点并不能完全决定一段平滑过渡，还要指定两端的变化速度。某些端点斜率会让曲线在中途越过终值，即使两端数值本身都在正常范围内。

先把规则写清楚

把时间规范为t从零到一，起终值为y0、y1，两端斜率为m0、m1。三次曲线系数为a等于2y0减2y1加m0加m1，b等于负3y0加3y1减2m0减m1，c等于m0，d等于y0，值为at三次方加bt平方加ct加d。

本例输入与推演结果

端点及斜率{'y0': -3, 'y1': 10, 'm0': 5, 'm1': -19}，三次到常数的四个系数为[-40, 48, 5, -3]。

规范时间 | 曲线值 0 | -3 1/8 | -109/64 1/4 | 5/8 3/8 | 225/64 1/2 | 13/2 5/8 | 583/64 3/4 | 87/8 7/8 | 725/64 1 | 10 端点与内部极值时刻：[0.0, 0.8490731195102493, 1.0] 这些时刻的值：[-3.0, 11.365046328098693, 10.0] 真实值域：[-3.0, 11.365046328098693]

这里的编号只用来辨认本例中的对象，不能当成另一份记录里的固定身份。阅读表格时先找到输入，再顺着运算顺序对照输出；空列表、零值和不存在的结果有不同含义，不能混用。表中分数保留精确值，小数显示仅为阅读方便。

怎样自己复核

端点代入应精确得到给定值和斜率。寻找真实范围时，还要解导数3at平方加2bt加c等于零，检查零到一以内的极值点；仅检查几个均匀采样点可能漏掉很窄的越界峰。

表格比较若干时间样本并列出极值候选。试着保持端点不变，只放大一个斜率，观察中段变化。若最后用硬裁剪把越界值拉回范围，曲线的速度连续性可能被破坏，应把裁剪当成新的展示规则而非原曲线仍然不越界。

适用范围

斜率是对规范时间的导数。如果实际时长为T，实际每秒速度须乘T再填入本例参数。曲线数学上连续平滑不代表视觉上一定合适，进度条等数值若不允许回退，仍需另外限制单调性。

本例是一套可复现的游戏机制练习，不依赖具体品牌或某个软件的默认设置。修改任何边界约定、输入参数或操作顺序后，应重新推演并保存中间状态。发现差异时先定位第一处不一致，再判断是规则不同还是计算错误，不要只把最终答案调整到看起来相同。